Detalle de la nave de la Sagrada Familia de Antoni Gaudí (1852 – 1926). Este es un ejemplo bellísimo del uso intuitivo de conceptos geométricos como curvatura y superficies regladas.
He aquí la tarea cuarta y final de este curso. En ella deberán explorar los conceptos de transporte paralelo, curvatura, torsión y derivadas de Lie. Estos son los bloques fundamentales que necesitamos para comprender la gravitación y la geometría espaciotemporal.
No dejen esta tarea para después. Es un poco larga, así que empiecen cuanto antes.
Esta será una tarea larga, pero enriquecedora. Será en dos partes (1,2 + 3,4) No la dejen para después. Se analizarán varios temas, todos de vital importancia:
El bellísimo Teorema Fundamental del Cálculo Exterior (‘Teorema de Stokes’).
El concepto de metricidad, y cómo se relaciona con el concepto de volumen en un espacio curvo.
El dual de Hodge relacionando p-formas con (d—p)-formas. En pocas palabras, el porqué en el espacio tridimensional el producto cruz de dos ‘vectores’ nos entrega otro ‘vector’ (¿son vectores o 1-formas en realidad?).
El cómo todos estos conceptos generan de manera unificada todos esos teoremas del cálculo vectorial estándar que parecen tan desconectados entre sí.
Cómo cuando integramos sobre un intervalo [a,b] en los reales ¡obtenemos el área bajo la curva! ¿No es misterioso integrar sobre una variedad unidimensional y obtener un área bidimensional? El Teorema Fundamental del Cálculo Exterior aclara este aparente absurdo.
Sé que aún no me han entregado la Tarea II, pero tratemos de juntarnos a la quinta hora de la tarde del quinto día del quinto mes de este año para aclarar sus dudas y que no se les junten las tareas.
Esta vez estamos entrando de lleno en las formas diferenciales. Ellas capturan en forma natural las ideas de integración, orientabilidad y tubos de flujo en un sólo concepto.
Quizás sea una locura de mi parte, pero las obras de Piet Mondrian (1872 – 1944) me hacen pensar justamente en esta noción de tubos de flujo. Por eso he decidido utilizar su famoso Composition en rouge, jaune, bleu et noir como ícono del blog del curso (mire la barra de su navegador).
La segunda tarea la encontrará en uno de los cuadros de Mondrian en su versión "mutante" más arriba.
Para que se concentren mientras hacen sus tareas les dejo una composición de Bach que en estos momentos viaja fuera del sistema solar, en un disco dorado que quizás escucharán algún día otras inteligencias.
Bienvenidos al blog para nuestro curso de geometría, tensores y formas diferenciales aplicadas a la física. También veremos algunos elementos de teoría de Grupos de Lie. El curso está orientado hacia adquirir conocimientos matemáticos básicos para trabajar en Relatividad General, Teoría Cuántica de Campos y teorías en dimensiones más altas (como Supergravedad o Teoría de Cuerdas).
Evaluaremos el curso con tareas que iré posteando en el mismo blog. Trataré de encontrar un equilibrio entre la intuición y rigurosidad en partes iguales que espero sea de su agrado.
Mi horario personal de este semestre es el siguiente
Algunos libros que nos serán útiles durante el semestre:
Mis Notas de Clases para Gravitación a la Cartan, las cuales están bastante desordenadas, pero en sus primeros capítulos contienen bastante geometría que creo les puede ser útil.
Extremadamente útiles, pero extensos y “surrealistas” son los libros de la serie de Michael Spivak, A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, volúmenes I, II, III, IV y V.
Para la primera de sus tareas, les pido que estudien el capítulo 5 del libro de Ray D'Inverno y el primero de mis notas de clase. Tienen hasta el 7 de abril para entregarla.
“The miracle of the appropriateness of the language of mathematics for the formulation of the laws of physics is a wonderful gift which we neither understand nor deserve.”
